正四面体型調和関数（その４）
\(L=12\)の基底を取り出す(\(\rm{I}\))
\(L=12\)の基底は、\(A_{1}\)表現の基底が\(2\)つと\(A_{2}\)表現の基底が\(1\)つある。
\(A_{2}\)表現の基底は、\(|\psi_{3}>\)と\(|\psi_{9,o}>\)の合成系から取り出す。
\begin{align*}
|\psi_{3}>|\psi_{9,o}>&=\frac{1}{12}\sqrt{3}
(|3,2> - |3,-2>)(-\sqrt{7}(|9,8>-|9,-8>)+\sqrt{17}(|9,4>-|9,-4>)) \\
&=\frac{1}{12}\sqrt{3}
(-\sqrt{7}(|3,9,2,8>-|3,9,2,-8>-|3,9,-2,8>+|3,9,-2,-8>) \\
&+\sqrt{17}(|3,9,2,4>-|3,9,2,-4>-|3,9,-2,4>+|3,9,-2,-4>))
\end{align*}
であるが、そのうちの\(L=12\)の成分に注目すると、\(3j\)記号を用いて、
\begin{align*}
<12,10|3,9,2,8>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 8 & -10 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 8 & -10 \end{pmatrix} =\frac{3}{5}\sqrt{\frac{1}{23}} \\
<12,6|3,9,-2,8>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ -2 & 8 & -6 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ -2 & 8 & -6 \end{pmatrix} =\frac{3}{5}\sqrt{\frac{3}{7\cdot 11\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,6|3,9,2,4>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 4 & -6 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 4 & -6 \end{pmatrix} =\frac{6}{5}\sqrt{\frac{3\cdot 17}{11\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,2|3,9,-2,4>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix} =\frac{3}{5}\sqrt{\frac{2\cdot 7}{11\cdot 19\cdot 23}} \\
\end{align*}
\[<12,-2|3,9,-2,0>=(-1)^{3+9-12}<12,2|3,9,2,0>=<12,2|3,9,2,0>\]
\[<12,-2|3,9,2,-4>=(-1)^{3+9-12}<12,2|3,9,-2,4>=<12,2|3,9,-2,4>\]
\[<12,-6|3,9,-2,-4>=(-1)^{3+9-12}<12,6|3,9,2,4>=<12,6|3,9,2,4>\]
\[<12,-6|3,9,2,-8>=(-1)^{3+9-12}<12,6|3,9,-2,8>=<12,6|3,9,-2,8>\]
\[<12,-10|3,9,-2,-8>=(-1)^{3+9-12}<12,10|3,9,2,8>=<12,10|3,9,2,8>\]
より、
\[|\psi_{12,t}> \propto -\frac{3}{5}\sqrt{\frac{7}{23}}(|12,10>+|12,-10>)
+21\sqrt{\frac{3}{11\cdot 19\cdot 23}}(|12,6>+|12,-6>)
-\frac{3}{5}\sqrt{\frac{2\cdot 7\cdot 17}{11\cdot 19\cdot 23}}(|12,2>+|12,-2>)\]
なので、規格化条件から、
\[|\psi_{12,t}> = \frac{1}{96}\sqrt{2\cdot 3\cdot 11\cdot 19}(|12,10>+|12,-10>)
-\frac{5}{32}\sqrt{2\cdot 7}(|12,6>+|12,-6>)
+\frac{1}{48}\sqrt{3\cdot 17}(|12,2>+|12,-2>)\]
である。
\(L=12\)の基底を取り出す(\(\rm{II}\))
\(L=12\)の\(A_{1}\)表現の基底のうちの\(1\)つを\(|\psi_{3}>\)と\(|\psi_{9,t}>\)の合成系から取り出す。
\begin{align*}
|\psi_{3}>|\psi_{9,t}>&=\frac{1}{8}
(|3,2> - |3,-2>)(-\sqrt{13}(|9,6>-|9,-6>)+\sqrt{3}(|9,2>-|9,-2>)) \\
&=\frac{1}{8}
(-\sqrt{13}(|3,9,2,6>-|3,9,2,-6>-|3,9,-2,6>+|3,9,-2,-6>) \\
&+\sqrt{3}(|3,9,2,2>-|3,9,2,-2>-|3,9,-2,2>+|3,9,-2,-2>))
\end{align*}
であるが、そのうちの\(L=12\)の成分に注目すると、\(3j\)記号を用いて、
\begin{align*}
<12,8|3,9,2,6>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 6 & -8 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 6 & -8 \end{pmatrix} =\frac{4}{5}\sqrt{\frac{3\cdot 17}{7\cdot 13\cdot 23}} \\
<12,4|3,9,-2,6>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ -2 & 6 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ -2 & 6 & -4 \end{pmatrix} =\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{11\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,4|3,9,2,2>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} =\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2\cdot 3\cdot 13}{11\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,0|3,9,2,-2>=(-1)^{3-9+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} =\frac{6}{5}\sqrt{\frac{2\cdot 3}{7\cdot 19\cdot 23}} \\
\end{align*}
\[<12,0|3,9,-2,2>=(-1)^{3+9-12}<12,0|3,9,2,-2>=<12,0|3,9,2,-2>\]
\[<12,-4|3,9,-2,-2>=(-1)^{3+9-12}<12,4|3,9,2,2>=<12,4|3,9,2,2>\]
\[<12,-4|3,9,2,-6>=(-1)^{3+9-12}<12,4|3,9,-2,6>=<12,4|3,9,-2,6>\]
\[<12,-8|3,9,-2,-6>=(-1)^{3+9-12}<12,8|3,9,2,6>=<12,8|3,9,2,6>\]
より、
\[|\psi_{12}> \propto -\frac{4}{5}\sqrt{\frac{3\cdot 13\cdot 17}{7\cdot 11\cdot 23}}(|12,8>+|12,-8>)
+\frac{16}{5}\sqrt{\frac{2\cdot 13}{11\cdot 19\cdot 23}}(|12,4>+|12,-4>)
-\frac{36}{5}\sqrt{\frac{2}{7\cdot 19\cdot 23}}|12,0>\]
なので、規格化条件から、
\[|\psi_{12}> = \frac{1}{20\sqrt{82}}(\sqrt{3\cdot 13\cdot 17\cdot 19}(|12,8>+|12,-8>)
-4\sqrt{2\cdot 7\cdot 13}(|12,4>+|12,-4>)+9\sqrt{2\cdot 11}|12,0>)\]
である。
\(L=12\)の\(A_{1}\)表現の基底は\(z\)軸回りの\(1/4\)回転について不変で、正八面体の対称性をもち、さらに、この基底は、\(|M|=0,4,8\)の成分をもつので、
\[|\psi_{12,o8}> = \frac{1}{20\sqrt{82}}(\sqrt{3\cdot 13\cdot 17\cdot 19}(|12,8>+|12,-8>)
-4\sqrt{2\cdot 7\cdot 13}(|12,4>+|12,-4>)+9\sqrt{2\cdot 11}|12,0>)\]
と表す。
\(L=12\)の基底を取り出す(\(\rm{III}\))
\(L=12\)の\(A_{1}\)表現のもう\(1\)つの基底を\(|\psi_{4}>\)と\(|\psi_{8}>\)の合成系から取り出す。
\begin{align*}
|\psi_{4}>|\psi_{8}>&=\frac{1}{96}(\sqrt{5}(|4,4>+|4,-4>)+\sqrt{2\cdot 7}|4,0>)\times \\
& (\sqrt{5\cdot 13}(|8,8>+|8,-8>)+2\sqrt{7}(|8,4>+|8,-4>)+3\sqrt{2\cdot 11}|8,0>) \\
&=\frac{1}{96}
(5\sqrt{13}(|4,8,4,8>+|4,8,-4,-8>)
+\sqrt{2\cdot 5\cdot 7\cdot 13}(|4,8,0,8>+|4,8,0,-8>)\\
&+2\sqrt{5\cdot 7}(|4,8,4,4>+|4,8,-4,-4>)
+5\sqrt{13}(|4,8,-4,8>+|4,8,4,-8>)\\
&+14\sqrt{2}(|4,8,0,4>+|4,8,0,-4>)
+3\sqrt{2\cdot 5\cdot 11}(|4,8,4,0>+|4,8,-4,0>)\\
&+2\sqrt{5\cdot 7}(|4,8,-4,4>+|4,8,4,-4>)
+6\sqrt{7\cdot 11}|4,8,0,0>)
\end{align*}
であるが、そのうちの\(L=12\)の成分に注目すると、\(3j\)記号を用いて、
\begin{align*}
<12,12|4,8,4,8>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & 8 & -12 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & 8 & -12 \end{pmatrix} =\frac{1}{5} \\
<12,8|4,8,0,8>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 8 & -8 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 8 & -8 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{1}{3\cdot 5\cdot 11\cdot 23}} \\
<12,8|4,8,4,4>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & 4 & -8 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & 4 & -8 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{2\cdot 13}{3\cdot 5\cdot 11\cdot 23}} \\
<12,4|4,8,-4,8>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ -4 & 8 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ -4 & 8 & -4 \end{pmatrix} =\frac{1}{15}\sqrt{\frac{1}{11\cdot 17\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,4|4,8,0,4>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix} =\frac{14}{3}\sqrt{\frac{2\cdot 13}{11\cdot 17\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,4|4,8,4,0>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & 0 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & 0 & -4 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{2\cdot 13}{5\cdot 17\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,0|4,8,4,-4>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{1}{5\cdot 17\cdot 19\cdot 23}} \\
<12,0|4,8,0,0>=(-1)^{4-8+12}\sqrt{2\cdot 12+1}\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =3\sqrt{\frac{11}{17\cdot 19\cdot 23}} \\
\end{align*}
\[<12,0|4,8,-4,4>=(-1)^{4+8-12}<12,0|4,8,4,-4>=<12,0|4,8,4,-4>\]
\[<12,-4|4,8,-4,0>=(-1)^{4+8-12}<12,4|4,8,4,0>=<12,4|4,8,4,0>\]
\[<12,-4|4,8,0,-4>=(-1)^{4+8-12}<12,4|4,8,0,4>=<12,4|4,8,0,4>\]
\[<12,-4|4,8,4,-8>=(-1)^{4+8-12}<12,4|4,8,-4,8>=<12,4|4,8,-4,8>\]
\[<12,-8|4,8,-4,-4>=(-1)^{4+8-12}<12,8|4,8,4,4>=<12,8|4,8,4,4>\]
\[<12,-8|4,8,0,-8>=(-1)^{4+8-12}<12,8|4,8,0,8>=<12,8|4,8,0,8>\]
\[<12,-12|4,8,-4,-8>=(-1)^{4+8-12}<12,12|4,8,4,8>=<12,12|4,8,4,8>\]
より、
\begin{align*}
|\psi_{12}> &\propto \sqrt{13}(|12,12>+|12,-12>)
+3\sqrt{\frac{2\cdot 7\cdot 13}{3\cdot 11\cdot 23}}(|12,8>+|12,-8>) \\
&+197\sqrt{\frac{13}{11\cdot 17\cdot 19\cdot 23}}(|12,4>+|12,-4>)
+202\sqrt{\frac{7}{17\cdot 19\cdot 23}}|12,0>
\end{align*}
であるが、この基底は\(|\psi_{12,o8}>\)と直交していないので、直交基底を取り出して規格化すると、
\begin{align*}
|\psi_{12,o12}> &= \frac{1}{160\sqrt{246}}(1025(|12,12>+|12,-12>)
+\sqrt{2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot 23}(|12,8>+|12,-8>) \\
&+3\sqrt{11\cdot 17\cdot 19\cdot 23}(|12,4>+|12,-4>)+2\sqrt{7\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23}|12,0>)
\end{align*}
である。
